Sintonice su controlador PID para obtener la respuesta deseada

Marco Antonio Paz Ramos, Suselle Garibo Esquivel.
InTech México Automatización,
Edición Octubre – Diciembre 2009.

INTRODUCCIÓN

El control PID es la estrategia de control más ampliamente utilizada en la industria del proceso, de acuerdo a algunos autores [1] el 97% de los lazos de control en la industria utilizan el PID como estrategia de control.

Por su parte, la sintonización de estos controladores representa uno de los problemas de mayor relevancia en la industria del proceso, ya que según algunas fuentes [2,3], un alto porcentaje de estos controladores operan en manual, a la vez que el resto de los controladores que operan en automático utilizan las ganancias por defecto de fabricante (Kc= 1, Ti= 1, Td=0) ó la conocida sintonización “a ojo”. Sólo un porcentaje muy pequeño de los lazos de control a nivel global, son sintonizados por alguna técnica analítica ó bien heurística.

CONSTRUYENDO UNA MAQUETA

Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, abstraer significa: “Separar por medio de una operación intelectual las cualidades de un objeto para considerarlas aisladamente o para considerar el mismo objeto en su pura esencia o noción”, mientras que por su parte la palabra abstracción es definida como: “Acción y efecto de abstraer”.

El modelado matemático es por lo tanto un proceso de abstracción; donde conscientemente separamos (de forma intelectual) las cualidades específicas de un sistema físico y las usamos a su vez para construir una “maqueta”, para la cual en lugar de cartón, cutter y pegamento, requerimos de estructuras matemáticas de construcción.

Por su parte, los modelos matemáticos pueden construirse de muy diferentes formas pues los hay cuantitativos y cualitativos, los hay rigurosos y de caja negra, los hay determinísticos y no determinísticos, los hay estáticos y dinámicos, los hay lineales y no lineales, los hay variantes e invariantes en el tiempo, los hay continuos y discretos, solo por citar algunos enfoques. En el diseño analítico de controladores PID se recurre usualmente al manejo de modelos lineales e invariantes en el tiempo, siendo precisamente el tipo de modelos que son considerados en este artículo.

El proceso de modelado puede tornarse en una tarea demandante, debido a la complejidad que implica el hecho de tomar en cuenta ciertas características e ignorar otras. La posibilidad de equivocarse en el camino es muy amplia y si somos demasiado cautelosos ó nos falta pericia para distinguir y descartar ciertas características dinámicas de menor relevancia durante el proceso de abstracción, podemos terminar sepultados bajo el peso de un modelo matemático gigantesco.

Finalmente no está de más hacer énfasis, en el hecho de que un modelo matemático no puede reemplazar en importancia al sistema físico real, ya que el modelo matemático NO es el proceso físico, solo una representación de éste último; una maqueta, y será tan confiable ó útil dependiendo de qué tan representativo hayamos logrado construirlo.

LA ESTRUCTURA DEL MODELO

Algunos autores mencionan que una proporción altamente representativa de los lazos de control industriales correspondientes las variables nivel, caudal, presión y temperatura pueden ser aproximados a modelos de primer orden de la forma:

dónde G(s) es un modelo matemático (en este caso una función de transferencia) en el dominio de la frecuencia (Laplace), K es la ganancia en lazo abierto del sistema, T es la constante de tiempo (tiempo que le toma al sistema alcanzar el 63.2 % de la que será su respuesta total ante una entrada escalón) mientras que L representa el retardo en el transporte, es decir el tiempo que le toma al sistema responder con un cambio en la salida del sistema, una vez que se ha modificado la señal de entrada del sistema.

Por otro lado, una estructura usual de segundo orden tiene la forma:

dónde ζ es el coeficiente de amortiguamiento, mientras que ωn representa la frecuencia natural no amortiguada.

Al optar por una estructura como la de G1 ó G2 para representar a nuestro sistema, obviamos el proceso de modelado riguroso, donde se requiere que establezcamos relaciones dinámicas de las variables físicas para una representación basada en una ó en varias ecuaciones diferenciales, y partimos de la hipótesis de que nuestro proceso físico puede aproximarse satisfactoriamente con una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, la cual a su vez y como resultado de la aplicación de la transformada de Laplace, resulta en la función de transferencia de primer orden de la forma G1.

Ya que hemos evitado el proceso de modelado riguroso, desconocemos los parámetros del propio modelo, tal como podría serlo la densidad del fluido, la temperatura en grados, el diámetro de la tubería ó lo que fuera que necesitáramos conocer para construir la representación completa. Ya que hemos supuesto una estructura del modelo y no conocemos los parámetros, requerimos ahora de un proceso de identificación paramétrica.

LA IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS

Identificar paramétricamente un proceso, consiste en obtener ciertos parámetros para que nuestro modelo matemático, pueda al evaluarlo arrojarnos una curva de respuesta en el tiempo, similar ó igual a la que resultaría del sistema físico real. Una vez que hemos seleccionado una estructura para el modelo (en este caso una de primer orden) tenemos que contar con un registro de la señal de entrada y de salida del proceso.

A continuación expondremos un ejemplo dónde veremos un proceso de identificación básico. Supongamos que deseamos obtener el modelo matemático del proceso de caudal representado en el DTI de la Figura 1.

Cómo ya lo hemos mencionado, no llevaremos a cabo un modelado riguroso y partiremos de la hipótesis de que nuestro proceso puede ser aproximado con un modelo de primer orden (G1), por lo que procederemos directamente a identificar los valores de los parámetros K, τ, L

Como primer paso debemos poner nuestro controlador en modo manual (cerca de la zona de operación) de nuestra variable de proceso (PV por sus siglas en inglés). Para lograr esto, necesitamos monitorear la salida de control (CO por sus siglas en inglés) y establecer con qué porcentaje de apertura de la válvula se logra la salida requerida para la operación en modo manual. En este caso particular, la salida analógica del Controlador Lógico Programable cuyo valor se encuentra comprendido en un rango de entre 0 y 10 V guarda una relación proporcional con la apertura de la válvula (0-100%), por lo que 5V de CO equivaldrían a una apertura del 50%.

Con la PV establecida, procedemos con el siguiente paso, consistente en abrir más la válvula en relación de la apertura actual (este porcentaje debe ser determinado por un operario con conocimiento del proceso en cuestión, puesto que en algunos casos la apertura excesiva de la válvula puede comprometer la integridad del proceso y del producto).  En este caso mandaremos a abrir la válvula 10% más, es decir pasaremos de un 50% de apertura a un 60% y registraremos tanto la salida de control (CO) como la variable del proceso (PV), tal como se muestra en la Figura 2.

En la Figura 2 puede apreciarse que hemos realizado algunas mediciones de ambas señales. Para empezar hemos denominado CO a la amplitud del cambio en la entrada, mientras que a la amplitud del cambio en la salida la hemos denominado ΔPV; K puede entonces aproximarse como una relación de estas como la siguiente relación:

También podemos apreciar que medimos la constante de tiempo L que para este caso es aproximadamente 4.6. Finalmente podemos observar que el retardo en el transporte L es muy pequeño, por lo que podemos aproximarlo a O, de tal forma G1 puede aproximarse como la relación:

Una vez que hemos aproximado nuestro proceso con modelo procederemos a la siguiente etapa, consistente en el diseño de nuestro controlador PID.

EL CONTROL PROPORCIONAL + INTEGRAL

En este caso el algoritmo de control configurado en el PLC en cuestión es un PID dependiente ó ISA de la forma:

Donde u es la señal de control, e es la señal de error, Td el tiempo derivativo y Ti el tiempo integral, como puede observarse en la ecuación que la ganancia Kc multiplica a todas las acciones de control; debido a lo cual se le conoce a este algoritmo como dependiente.

En aquellos casos donde existen perturbaciones en la señal del proceso (tal como puede observarse en la señal de PV de la Figura 2) es recomendable configurar la ganancia derivativa como a cero, por lo que en este caso solo aplicaremos un controlador Proporcional + Integral (PI).

LA RESPUESTA DESEADA EN LAZO CERRADO

Cuando se aplica un control PI a un proceso de la forma G1 la dinámica resultante en lazo cerrado puede aproximarse a un modelo de segundo orden, cuyo denominador es compatible con el de la ecuación G2.

De G2 nosotros podemos calcular un sobrepaso ó pico aproximado a partir de:

Cuando ζ<1 [4], por su parte podemos aproximar el tiempo de establecimiento del sistema (el tiempo que le toma al sistema establecerse ante un cambio con forma de escalón en la entrada) respetando el siguiente criterio, el cual por su parte considera un error de establecimiento del 1 %.

Si de forma complementaria nosotros no conocemos ζ ó ωn y queremos que en lazo cerrado el sistema cumpla con un sobrepaso deseado Mpd y un tiempo de establecimiento deseado tsd, podemos calcular el coeficiente de amortiguamiento deseado en lazo cerrado como:

y la frecuencia natural no amortiguada deseada en lazo cerrado tal que:

Los valores identificados para K y τ  así como ζd como ωnd serán utilizados para calcular la ganancia proporcional Kc de nuestro controlador de la forma:

Mientras que el tiempo integral Ti se definirá como:

LA IMPLEMENTACIÓN

Con las relaciones anteriores definidas, procedemos a sintonizar nuestro controlador PID para lograr ciertas especificaciones en lazo cerrado. Asumamos pues que deseamos que PV en lazo cerrado tenga un sobrepaso máximo del 15%, mientras que esperamos tener un tiempo de establecimiento de aproximadamente tres veces la constante de tiempo τ.

Con lo que tendríamos que ζd =0.5169 Y ωnd=0.6448, pudiendo entonces calcular los parámetros del controlador como Kc=2.5833 Y Ti= 1.0805 (y por supuesto Td=0).

Cuando introducimos las ganancias a nuestro controlador PID, podemos observar la respuesta del caudal en la Figura 3.

En la Figura 3 podemos observar que prácticamente se cumplen las especificaciones de diseño establecidas.

Hay algunas situaciones que deben ser consideradas para la implantación de este tipo de sintonización:

  1. Con respecto a la saturación del actuador, como se puede observar el valor de referencia (SP por sus siglas en inglés) es de 3 volts, y podemos ver que CO casi alcanza el límite de la salida analógica del PLC, si el SP fuera mayor, seguramente observaríamos alguna distorsión en PV, por lo que es conveniente en dicho caso contemplar una reducción en la especificación del sobrepaso,
  2. Las unidades del proceso pueden cambiar, en sistemas SCADA usualmente se manejan unidades de ingeniería, en tal caso estas deben ser contempladas al identificar los parámetros del modelo matemático
  3. Si la dinámica del proceso es compleja el proceso puede requerir una aproximación de mayor orden si, además si el sistema en lazo abierto tiene un sobrepaso no es conveniente utilizar el método descrito aquí,
  4. Debe tomarse en cuenta sobre que plataforma industrial se ejecuta el controlador PID, ya que entre marcas pueden existir variantes algorítmicas. Por ejemplo, en los controladores lógicos programables del fabricante Allen Bradley (Rockwell Automation) el parámetro Ti debe dividirse entre 60, antes de introducirlo al bloque de programación, aunado a esto debe considerarse que el mínimo valor registrable para el tiempo integral es 0.01.
  5. Finalmente el método aquí presentado es muy útil, siempre y cuando el retardo en el transporte sea suficientemente pequeño para despreciarse.

REFERENCIAS

[1] Ástrom K.J., Hagglünd T, PID Controllers, 2nd edition, ISA, 1995.

[2] Ender D.B., “Process Control Performance Not as Good as You Think”, Control Engineering, 180-190, September 1993.

[3] Desborough L., Nordh P., Miller R., “Control System Reliability; Process out of Control” InTech (ISA), August 2001.

[4] Franklin G.F., Powell J. D., Workman M., Digital Control of Dynamic Systems, third edition, Addison Wesley, 1998.

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